PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB III

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan Linear

Dasar suatu persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua ungkapan pada ruas kanan dan ruas kiriyang dipisahkan oleh tanda “=” (dibaca saama dengan). Hal yang tak diketahui dalam sebuah persamaan disebut variable, sedangkan persamaan yang memuat variable berpangkat satu disebut persamaan linear.

Contoh 1

1.      x = 10

2.      4x +1 = 15

3.      3x +2 = x + 20

Sebuah penyelesaian di suatu persamaan berupa bilangan yang jika disubtitusikan pada variable menghasilkan sebuah pernyataan yang benar.

Contoh 2.

1.      5x = 45, persamaan ini mempunyai penyelesaian bilangan 9, sebab 5(9) = 45 adalah benar. Bilangan -8 bukan sebuah penyelesaian dari 5x = 45, sebab 5(-8) = -40 adalah salah.

2.      3z +12 = 2z + 7 jika kita selesaikan persamaan ini mempunyai penyelesaian -5 sebab 3(-5) +12 = 2(-5) + 7

A.       Penjumlahan dan Perkalian

Ada dua prinsip yang diperbolehkan kita untuk menyelesaikan bermacam-macam persamaan.

Pertama, Prinsip penjumlahan

Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c, jika a = b maka

a + c = b + c

a – c = b – c

Kedua, Prinsip perkalian

untuk sebarang bilangan real a, b, dan c, jika a = b maka a × c = b × c

 , benar, dengan c ¹ 0.

Contoh 3.

Selesaikanlah 3x + 19 = 31

Penyelesaian

3x + 19 = 31

3x + 19 + (-19) = 31 + (-19)    menggunakan prinsip penjumlahan

3x = 12                        kedua ruas kita tambahkan dengan -19

 3x =  12            menggunakan prinsip perkalian, kedua ruas kita kalikan dengan

x = 4

contoh 4

selesaikanlah 3(y – 1) – 1 = 2 – 5(y + 5)

penyelesaian

 3(y – 1) – 1 = 2 – 5(y + 5)

3y – 3 – 1 = 2 – 5y – 25                      (distribusi)

3y – 4 = -5y – 23

3y – 4 + 4 = -5y – 23 + 4                     kedua ruas kita tambahkan +4

3y = -5y – 19

3y + 5y = -19 – 5y + 5y                       kedua ruas kita tambahkan +5y

8y = -19

 8y =  (-19)                                kedua ruas kita kalikan

y =  

B.        Persamaan Ekuivalen

Kita akan membicarakan persamaan ekuivalen dan persamaan ekuivalen ini didefinisikan sebagai berikut

Persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama kita sebut persamaan ekuivalen.

Contoh 5

4x = 16

-5x = -20

2x + 7 = 15

3x – 5 = x + 3

Keempat persamaan tersebut ekuivalen karena himpunan penyelesaiannya sama, yaitu {x½x = 4}.

C.        Persamaan Pecahan

Persamaan yang memuat ungkapan pecahan kita namakan persamaan pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan pecahan ini kita gunakan perkalian dengan variable.

Contoh 6

         

              kedua ruas kalikan dengan 15

             distribusi perkalian terhadap penjumlahan

3M – 6 + 5M = 3

8M – 6 = 3

8M – 6 + 6 = 3 + 6                       kedua ruas kita tambah dengan 6

8M = 9

       8M =  (9)                            kedua ruas kita kalikan

M =  

Contoh 7

Selesaikan

Penyelesaian

                 kedua ruas kita kalikan dengan

x + 4 = -1

x + 4 + (-4) = -1 + (-4)                             kedua ruas kita kalikan dengan (-4)   

x = -5

Latihan

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda mengerjakan latihan berikut ini!

1.      Selesaikanlah 2z – (9z + 8) = (5 – 2z) – 3(2z – 3) + 29!

2.      Selesaikanlah !

3.      Hasil ketiga kali tes seorang siswa SD di Mataram Nusa Tenggara Barat 87%, 64%, dan 78%. Berapakah skor tes yang ia dapatkan pada tes keempat agar rata-ratanya 80%?

4.      Salah satu sudut sebuah segitiga ukurannya lima kali sudut pertama. Sedangkan sudut ketiga besarnya 2^o kurang dari sudut pertama. Berapakah besar masing-masing sudut segitiga tersebut?

5.      Jumlah dua bilangan bulat berurutan 35. Tentukan bilangan bulat itu?

Pertidaksamaan Linear

Istilah-istilah seperti lebih dar, kurang dari, lebih besar, lebih kecil, lebih tinggi, tidak sama, sudah menjadi bahasa sehari-hari dalam masyarakat. Istilah-istilah tersebut dalam matematika dilambangkan sebagai berikut.

Lambang pertidaksamaan	Arti
>	Lebih dari
≥	Lebih dari atau sama dengan
<	Kurang dari
≤	Kurang dari atau sama dengan
≠	Tidak sama dengan

Lambing-lambang tersebut digunakan pada materi pelajaran pertidaksamaan. Pada modul ini dibahas pertidaksamaan linear satu peubah.

Pertidaksamaan linear denga satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu peubah, misalnya x saja, y saja, atau z saja, dengan pangkat tertinggi peubahnya satu.

A. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dengan Satu Peubah

Pada prinsipnya pemecahan masalah pertidaksamaan linear mirip dengan penyelesaian persamaan. Hal ini dapat kita lihat perbandingan di bawah ini.

No	Penyelesaian Persamaan	Penyelesaian Pertidaksamaan
1	Prinsip Penjumlahan Menambahkan dengan bilangan yang sama pada kedua ruas	Prinsip Penjumlahan Menambahkan dengan bilangan yang sama pada kedua ruas
2	Prinsip Perkalian Kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama	Prinsip Perkalian 1.   Kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif  yang sama 2.   Jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, tanda harus diubah dari < menjadi >, dan sebaliknya

Contoh 8.

Gunakan prinsip penjumlahan

1.      13 > 7

13 + 5 > 7 + 5            Tambah 5 pada kedua ruas

18 > 12

2.      a + 1 < 5

a + 1 – 1 < 5 – 1                    Tambah -1 pada kedua ruas

a < 4

     Contoh 9

     Gunakan prinsip perkalian

1.      12 < 17

5(12) < 5(17)               Kalikan 5 pada kedua ruas

60 < 85

2.      10 > 4

-7(10) < -7(4)              Kalikan -7 pada kedua ruas

-70 < -28

3.      6 < 9

(6) > (9)

-2 > -3

     Contoh 10

     Selesaikan 3x – 5 < x = 2

     Penyelesaian

3x – 5 < x + 2

3x – 5 +5 < x + 2 + 5          tambahkan +5 pada kedua ruas

3x < x + 7

3x – x < x – x + 7                tambahkan -x pada kedua ruas

2x < 7

(2x) < (7)              kalikan  pada kedua ruas

x <

Jadi, himpunanpenyelesaian adalah

Contoh 11

Tentukan himpunan penyelesaian dari 3y – 2(2y – 7) ≥ 2(3 + y) – 4

Penyelesaian

 3y – 2(2y – 7) ≥ 2(3 + y) – 4

3y – 4y + 14 ≥ 6 + 2y – 4                gunakan distribusi perkalian

-y + 14 ≥ 2y + 2

-y + 14 – 14 ≥ 2y + 2 – 14              tambahkan dengan -14 dikedua ruas

-y ≥ 2y – 12

-y – 2y ≥ 2y – 2y – 12                     tambahkan dengan -2y dikedua ruas

-3y ≥ -12

(-3y) ≤ (-12)              dikalikan dengan  dikedua ruas

y ≤ 4. Jadi himpunan penyelesaian

B.  Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Peubah

Pertidaksamaan yang menurut ungkapan pecahan kita sebut pertidaksamaan pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan ini kita akan sering menggunakan perkalian peubah (variable).

Contoh 12

Selesaikanlah  

Penyelesaian

 

              kedua ruas dikalikan dengan 12

4z > 84 – 3z

4z + 3z > 84 – 3z + 3z            kedua ruas ditambah dengan 3z

7z > 84

                        kedua ruas dikalikan dengan 

Z > 12. Himpunan penyelesaian

Contoh 13

Tentukan himpunan penyelesaian dari 

Penyelesaian

             kedua ruas dikalikan dengan (x – 1)

3 – 4(x – 1) < (x – 1) + 1

3 – 4x + 4 < x

7 – 4x < x

7 – 7 – 4x < x – 7                    kedua ruas ditambah denga -7

-4x < x – 7

-4x – x < x – x – 7                   kedua ruas ditambah dengan -x

-5x < -7

                    kedua ruas dikalikan dengan 

 

                                       kedua ruas dikalikan dengan -1

Jadi himpunan penyelesaian  .

Persamaan Kuadrat

Persamaan yang berbentuk  ax² + bx + c = 0  , dengan a, b, c Î Â, a ¹ 0 disebut persamaan kuadrat.

Contoh 14

x² + 5x + 8 = 4 adalah persamaan kuadrat, sebab bentuknya dapat diubah menjadi  x² + 5x + 4 = 0.

Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu:

1.      Pemfaktoran

Jika ax² + bx + c = 0  dapat difaktorkan maka akar-akar persamaan kuadrat mudah didapat. Caranya memakai sifat: ”pq = 0 maka p = 0 atau q = 0, atau p dan q keduanya nol”

Contoh 15

Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0

Penyelesaian

x² – 4x – 5 = 0

Û (x – 5)(x + 1) = 0

Û x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

Û x₁ = 5 atau  x₂ = -1 . Jadi himpunan penyelesaian = {-1, 5}

2.      Melengkapkan kuadrat

Contoh  16

Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0

Penyelesaian

x² – 4x – 5 = 0

Û  x² – 4x + 2² – 2² – 5  = 0

Û (x – 2)² – 9 = 0

Û (x – 2)² = 9

   Û x – 2  = ± 3

          x = 2 ± 3

Diperoleh  x₁ = 2 + 3 = 5  atau  x₂ = 2 – 3 = -1. Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 5}

3.      Rumus Persamaan Kuadrat.

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat .

Prosesnya sebagai berikut:

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat. Misalkan a, b, c Î Â dan  maka akar-akar persamaan kuadrat  ditentukan oleh:

Catatan:

      x_1, x₂ disebut akar-akar persamaan kuadrat

      {x₁, x₂} disebut himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat

      b² – 4ac disebut diskriminan, dan dinyatakan dengan D = b² – 4ac.

Contoh 17

Carilah akar-akar persamaan dari  x² – 4x – 5 = 0 dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat.

Penyelesaian

Persamaan x² – 4x – 5 = 0 dengan a = 1, b = -4, dan c = -5

 =  = = 2 ± 3

Diperoleh  x₁ = 2 + 3 = 5  atau  x₂ = 2 – 3 = -1. Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 5}

Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat

a.          Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan

Jenis akar-akar persamaan kuadrat , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =.

·            Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda

Untuk D berupa bilangan kuadrat () akarnya rasional

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat  akarnya rasional

·            Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama

·            Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

Contoh  18

Tanpa menyelesaikan persamaan  tentukan jenis akar-akarnya !

Penyelesaian:

  

Û   

=

= 25

=.   Jadi  mempunyai dua akar berlainan dan rasional

b.    Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat  adalah

 atau

Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:

1.      Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

2.      Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 19

Jika x₁, x₂ akar-akar persamaan x² – 2x + 4 = 0.

Tentukan

1.      x₁ + x₂

2.      x₁  ×  x₂

Penyelesaian

1.      x₁ + x₂ =

2.      x₁  ×  x₂ =

Contoh 20
Jika  dan  akar-akar persamaan kuadrat , tentukan nilai dari :

Penyelesaian

Contoh 21

Untuk nilai p yang manakah, persamaan kuadrat px² + (p + 8)x + 9 = 0 akar-akar yang sama?

Penyelesaian

px² + (p + 8)x + 9 = 0

D = (p + 8)² – 4(p) (9)

= p² + 16p + 64 – 36p

= p² – 20p + 64

Syarat untuk kedua akarnya sama adalah D = 0

Jadi,     p² – 20p + 64 = 0

            (p – 4) (p – 16) = 0

            p – 4 = 0 atau p – 16 = 0

            p = 4 atau p = 16. 

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksaman yang berbentuk , , , atau dengan a, b, c bilangan real dan disebut pertidaksamaan kuadrat. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

Contoh 22